Gödel’in Eksiklik Teoremi

Günümüzde ki konumuyla Çek Cumhuriyeti’nin en büyük ikinci şehri olan Brünn (Brno)’de dünyaya gelen Avusturyalı-Amerikalı mantıkçı, matematikçi ve matematik felsefecisi Kurt Gödel‘in kendi ismiyle anılan bir teorisidir.

Kısacası, tüm karışık matematik tutarlılığını, basit bir aritmetiğe indirgeme çabasını boşa çıkaran bir teorem olarak bilinmektedir.

Kurt Gödel’le aynı çağda yaşayan ünlü Alman matematikçi David Hilbert, matematik konuları içerisinde yer alan bütün ispatların, belirli bir sabit yöntem yada yöntemler bütünüyle, kısacası “aksiyomatik” bir sistematik aracılığıyla elde edilebileceğini savunuyordu ve bu düşünce çerçevesinde çalışmalar yapmaya başladı. Temel aritmetikteki bütün doğruları, aksiyomlarından türetebilir ise, matematikte yer alan bütün doğruları da bu aksiyom yapılarını kullanarak ortaya çıkarabilecekti.

Hilbert’in bu düşüncesinin yanlış olduğunu ise Kurt Gödel gösterdi. Bunu kısaca şu şekilde gerçekleştirdi:

• Bu önerme ispatlanamaz ifadesini (G) aritmetik sisteminde formülize etti.
• Bununla birlikte G ifadenin değilini (Bu önerme ispatlanabilir) de formül ile ifade etti.
• Ardından, G ifadesinin aritmetik olarak doğruluğu hesaplanabilir ise, G ifadesinin değilinin de doğruluğunun hesaplanabileceğini gösterdi.

Ve Gödel buradan şu iki sonuca ulaşmıştır:

1. Öğesel aritmetik içeren aksiyomatik bir sistem tutarlı ise eksiksizlik değildir.
2. Öğesel aritmetik içeren aksiyomatik bir sistemin tutarlılığını sistemin kendi içinden (sistemin kendi formüllerini ve işlemlerini kullanarak) ispatlamak mümkün değildir.

İşin asıl enteresan olan tarafı, bu G ifadesi sistemin içine bir aksiyom olarak yerleştirilse bile, yeni bir Gödel cümlesi çıkartılabilir.

Yani ne kadar aksiyom eklenilmesi istenilirse istenilsin, böyle bir sistemde doğruluğu veya yanlışlığı ispatlanamayacak bir Gödel cümlesi yer alacaktır.

Bu teorem, Kurt Gödel’in 1931 senesinde doktorasında yayınladığı “Principia Mathematica Gibi Dizgelerin Biçimsel Olarak Karar Verilemeyen Önermeleri Üzerine” başlıklı makalesinde 4. önerme olarak yer almaktadır. Sezgisel olarak matematikte belitlere (aksiyom) dayanan her sistemin tutarlı olması dahilinde eksik olması gerektiğini bildirir.

Gödel’in ifadesiyle:

Her -tutarlı yinelgen tamdeyimler sınıfı K‘ya öyle yinelgen r sınıf-imleri tekabül eder ki, bu durumda, ne vGnr ne de ~(vGnr), Flg(K)‘ya ait olur (Burada v, r‘nin bağsız değişkenidir).

Daha sade ve açık bir şekilde ifade edecek olursak;

Sayı kuramının bütün tutarlı ilksavlı (Mantıksal) formülasyonları, karar verilemeyen önermeler içerir.

Bahsettiğimiz önermeyi biraz açıklamak istersek, tutarlı biçimsel bir dizge (sistem) kurallara ve belitlere dayanıyorsa, bu dizge kesinlikle karar verilemeyen (ne doğru ne de yanlış olduğu kanıtlanabilen) önermeler içerecektir.

Gödel’in ikinci teoremi, her biçimsel dizgenin sayılar kuramına eşbiçimli (izomorfik) olduğunu ifade eder. Bu durumda bu teoremle, sayı kuramının her formülasyonunun eksik olması gerektiği kanıtlanmıştır.

Bu karar verilemeyen önermeler için en çok bilinen örnekler; (sayılar kuramında) Seçim Beliti, (geometride) Pararlellik Beliti, (mantıkta) Eubulides Paradoksu, vs…

Gödel, bahsi geçen teorem sayesinde Hilbert’in programında sorduğu “Matematik tam mıdır?” sorusuna cevaben “hayır” yanıtını vermiş olmaktadır.

Hilbert, matematiği paradokslardan ve tutarsızlıklardan kurtarmak gayesiyle, sınırlı ve tam bir aksiyomlar kümesi ile bütün mevcut durumda bulunan teoremlere sağlam bir zemin oluşturmayı amaçlamış ve gerçel analiz gibi karmaşık sistemlerin bu zemin üzerine oturmuş, daha basit sistemler ile kanıtlanabileceğini önermişti.

Tüm matematiğin tutarlılığını basit aritmetiğe indirgemeyi amaçlayan bu çaba, eksiklik teoremi ile boşa çıkmıştır.

Gödel’in son derecede soyut matematiğinin detaylarıyla uğraşarak kafamızı karıştırmadan, onun ne demek istediğini şöyle bir örnekle açıklamaya çalışalım;

Farz edelim ki elimizde yalnızca 4 sayı bulunuyor: {1, 2, 3, 5}.

Bunu bizim aksiyom kümemiz olduğunu düşünelim. Şimdi bir de çıkarım kuralına ihtiyacımız var, onu da çarpma işlemi olarak ele alalım.

Yani bu örnekte A = {1, 2, 3, 5} bizim aksiyom kümemiz oluyor. Çıkarım kuralımız ise × işlemi…

A kümesi ile ­× işlemi beraber bir matematik sistemi ortaya çıkartıyor. Bu sisteme kısaca S diyelim. Şimdi, sayıları birer önerme olarak kabul edelim ve S içinde herhangi bir önermenin nasıl ispatlandığını açıklayalım.

10 = 2×5

6 = 2×3

8 = 2×2×2

16 = 8×2

30 = 3×10 vs.

Yukarıda verildiği gibi S içinde ispatlanabilen sonsuz sayıda önerme bulunmaktadır. (Bu örnekte önermelerin sayı olduğunu aklımızdan çıkarmayalım.)

S’de ispatı yapılabilen tüm önermelerin kümesi Ö olsun. Bu durumda:

Ö = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, … } şeklinde bir sonuca ulaşacağız.

Bunların ardından “S sistemi tam mıdır?” sorusuna yanıt arayalım. Tam olmadığını hemen çözebileceksiniz. Çünkü Ö kümesi örneğin 7’yi içermemektedir. (Çünkü 7 sayısı hiç bir şekilde 1, 2, 3 ve 5 sayılarının çarpımı ile elde edilemez) Peki ya 7’yi A kümesine eklersek…

Bu durumda A = {1, 2, 3, 5, 7} olacaktır.

Şimdi, artık Ö kümesi 7’yi içerecektir. Ö = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ….}

Şuanda S tam oldu mu?

Cevabımız: Maalesef, hayır!

Ö kümesi hala 11 ve 17 gibi asal sayıları içerisinde bulundurmamaktadır. Asal sayıların ne olduğunu bilenler, bu şekilde oluşturulan Ö’nün hiç bir zaman tam olamayacağını anlayabilecektir.

S’nin tam olması için A’ya bütün asalları (ki sonsuz sayıdadırlar) eklememiz gerekir. Ama biz ne demiştik? Sonlu hiç bir matematik sistemi tam olamaz…

İşte Gödel bunu kanıtlamak istiyordu…

 

Kaynaklar: 

-Gödel Teoreminin Yapay Zeka Üzerine
-Eksiklik Teoremi
-http://www.bilimkurgukulubu.com/genel/bilim-teknoloji/kurt-godel-ve-eksiklik-kaniti/
-https://tr.wikipedia.org/w/index.php?title=Gödel%27in_eksiklik_teoremi&oldid=18260678
-https://tr.wikipedia.org/w/index.php?title=Eksiklik_teoremi&oldid=19433473″
https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48eff443f9de7a985bb94ca3bde20813ea737be8

By Kaynuka